Арифметика драфтовых призов, или почему 4-3-2-2 играть не надо.

Bakirov

Вопрос о том, какой вид драфтов выгоднее играть, волнует, наверное, всех любителей лимитеда в MTGO. Однако, хотя проблема актуальна не первый день, достойного анализа на русском языке, я пока нигде не встречал. Кое-что, но очень вкратце, нашлось на Топдеке (http://topdeck.ru/forum/index.php?showtopic=347&view=findpost&p=44259), но глубокого анализа нет и там. Раз так, пришлось взяться за дело самому.

Для начала напомню, в чём суть вопроса. В онлайновой Магии для актуальных драфтовых форматов доступно, как правило, три различных очереди:

  1. Swiss draft – там после раздрафта каждый участник играет три раунда по швейцарской системе и после завершения драфта получает за каждую победу по призовому бустеру. В итоге победитель драфте забирает три бустера, трое забирают по два, ещё трое — по одному, и лишь один уходит ни с чем. Суммарно, таким образом, выплачивается 12 призовых бустеров.

  2. «4-3-2-2» - восьмёрка драфтеров играет 3 раунда на вылет, победитель уходит с четырьмя бустерами, финалист — с тремя, полуфиналисты получают по два, а вылетевшие в первом раунде остаются ни с чем. Суммарно раздаётся 11 бустеров.

  3. «8-4» - как и в предыдущем варианте, три раунда на вылет, победителю достаётся восемь бустеров, финалисту — четыре, прочие отдыхают. Здесь призовых бустеров опять 12.

Стоимость участия во всех трёх вариантах одинаковая. И главный вопрос, собственно, такой — в какой очереди В СРЕДНЕМ можно выигрывать больше призов. Понятно, что если бы различия в уровне участников между ними не было, второй вариант («4-3-2-2») рассматривать вовсе бы не стоило — там бустеров попросту меньше в целом. И, конечно, отличия эти существуют — в Swiss draft'е сидит больше малоопытных игроков, не желающих покидать турнир после поражения в первом-втором раундах, в «8-4» больше доля классных драфтеров, которые не желают тратить своё время на турнир с первым призом меньше восьми бустеров. Но что это может значить для нас?

Первое, что приходит в голову — надо разобраться, как наше умение играть этот формат (т. е. средний шанс на выигрыш матча) влияет на наш средний выигрыш в каждой из трёх очередей. Я намеренно опускаю вопросы рародрафта, т. к. считаю, что действительно стоящие карты надо рародрафтить в любой очереди, а влияние тех пограничных случаев, когда, скажем, в «8-4» констрактедную рару среднего уровня надо пропускать, а в «4-3-2-2», забирать, - невелико — на то эти случаи и пограничные. Ещё одно упрощение — что вероятность выигрыша в каждой очереди не зависит от того, играем ли мы в первом раунде, втором или финале. Да, такой анализ не вполне корректен. Однако, считаю, что выводы, полученные в такой упрощённой модели, будут применимы и в реальной жизни. Обозначу эти вероятности выигрыша как Pswiss, P4322 и P84 соответственно. Среднее ожидаемое количество призовых бустеров пусть будет EVswiss, EV4322 и EV84.

Итак, самая простая формула для «швейцарки»:

EVswiss=3xPswiss.

Для игр на вылет формулы чуть похитрее:

EV4322=2xP4322+P43222+P43223.

EV84=4xP842+4xP843.

На первый взгляд всё логично — если мы играем еле-еле (левая часть графика), то в «8-4» ловить вовсе нечего, в «4-3-2-2» уже повеселее, но лучше всего играть «швейцарку». Если же играть хорошо (правая часть), то у «8-4» конкурентов нет.

Чтобы продвигаться дальше, придётся сделать ещё одно предположение. Будем считать, что для Pswiss≤P4322≤P84. Тогда можно мгновенно сделать вывод, что если наши шансы выиграть матчнаходится левее точки пересечения красной (swiss) и жёлтой (4-3-2-2) линий, «швейцарка» выгоднее, чем «4-3-2-2». Эта точка соответствует вполне приличному проценту выигранных матчей — 61,8%. Далее, перейдём от прямой зависимости к обратной. Нетрудно ведь понять, что для достижения одного и того же "выхлопа" (выраженного в среднем выигрыше с драфта) в разных очередях нужен разный средний процент побед. По вышеприведённому графику эти цифры можно получить, отметив точки, где горизонтальная линия пересекает каждый из графиков. Для лучшего понимания сведём эти данные в таблицу.

 

Процент выигрыша в «4-3-2-2»

«Швейцарка»

«8-4»

5%

3%

15%

10%

7%

21%

15%

11%

26%

20%

15%

29%

25%

19%

32%

30%

24%

36%

35%

29%

39%

40%

34%

42%

45%

40%

45%

50%

46%

48%

55%

52%

51%

60%

59%

54%

65%

67%

57%

70%

74%

59%

75%

83%

62%

80%

92%

65%

85%

N/A

67%

90%

N/A

70%

95%

N/A

73%

100%

N/A

75%

(источник: http://josephbono.wordpress.com/2012/09/13/the-win-rate-fallacy-and-4-3-2-2s/ )

Отсюда видно, что ~55% побед в «8-4» дают тот же «выхлоп», что и 62% в «4-3-2-2». т. е. в «8-4» можно проигрывать на 7% матчей больше, а в призовых по сравнению с «4-3-2-2» не терять. И чем дальше вправо (т.е. чем выше скилл), тем больше эта "дельта". А ведь и 7% — это немало. Берусь утверждать, что контингент игроков в этих очередях настолько не разнится и всякий игрок, способный выигрывать в «4-3-2-2» больше, чем в "швейцарке", в «8-4» будет на дистанции чувствовать себя ещё лучше. В самом деле, откуда такой панический страх перед «8-4»? Да ведь там же все «папки» играют, скажете вы. Но стоит сравнить количество этих самых «папок» с общим количеством игроков, как это аргумент рассыпается. В самом деле, сколько есть в Магии реальных Про? Ну, скажем, пара сотен из регулярно засвеченных на протурах. Ну пусть ещё столько же сравнимых с ними online-only игроков. Но это всё же не биороботы, играющие круглосуточно. Вряд ли каждый из них играет в среднем больше одного драфта в день, да и то сомнительно. Теперь сравните с общим количеством драфтов в онлайне. Сотни и тысячи ежедневно. Один «про» за столом, если и попадётся, картину не испортит. По своему опыту (а я поиграл достаточно и тех, и других драфтов) могу сказать, что хотя лучшие игроки в «8-4» действительно выше уровнем, чем верхушка контингента в «4-3-2-2», процент откровенно никаких оппонентов примерно одинаков. И если вам уже нечего делать в «швейцарке» и вы пересели в «4-3-2-2», то в «8-4» результат, выраженный в призовых бустерах, будет не хуже. А что уж говорить об сатисфакции от выигрыша драфта? Конечно, в «8-4» эмоции куда полнее. Ну и если вы хотите прогрессировать, то в «8-4» дело пойдёт быстрее — хотя бы потому, что там ответственность за результат куда больше. А если вам нужно чистое развлекалово и хочется наслаждаться процессом возможно дешевле, то надо сидеть в «швейцарке» - там вдобавок после поражения в первом раунде никто из турнира не гонит. Т.е. соотношение «деньги-удовольствие-время» более привлекательнее. Ну а если Вам всё равно, сколько за удовольствие платить, то непонятно, как вы эту статью до конца дочитали.

Комментарии

Игорь Водопьянов

  " Однако, считаю, что

 

" Однако, считаю, что выводы, полученные в такой упрощённой модели, будут применимы и в реальной жизни"
И как же это было определено? Самое важное-то и пропущено. Математика, в основании которой лежит субъективное необоснованное решение, ничего не стоит.
Рустам Бакиров

Для интереса, для своих

Для интереса, для своих драфтов, попробуйте взять свою статистику побед. Очень удивлюсь, что на значимом доверительном уровне вам удастся опровергнуть гипотезу, что эти вероятности отличаются. Конечно, на очень большой выборке различия уловить можно. Но основной вывод статьи (что 4-3-2-2 с точки зрения призовых бустеров никогда не оптимален) делается с достаточно большим запасом (тем самые 7%+ зазора между процентом побед в "8-4" и "4-3-2-2"), чтобы отличия в несколько процентов между раундами его не разрушили.

Я не претендую на строгую математическую точность - я хочу лишь показать, что различия весьма велики. Так или иначе, тут достаточно многое нужно принять на веру (например, что плохих игроков в "8-4" хватает). И какой драфт играть, каждый решает для себя. В конце концов, решение определяется не только прибыльностью (или убыточностью).

Игорь Водопьянов

Я не могу опровергнуть ваши

Я не могу опровергнуть ваши приближения. У меня нет достаточного объема данных, времени и причин для анализа. Но в математике и не действует презумпция невиновности.

Сколько это - "несколько процентов"? 2, 4, 6, 8, 10, 15? Должно быть значение, которое выводит результаты за пределы допустимой погрешности. Чему оно равно?

И еще, на мой взгляд, стоимость надрафченных карт тоже вносит весомый вклад в прибыльность драфта. Потому что сейчас получается, что драфты выгодно играть, только если у вас вероятность выигрыша в 8-4 >= 70%. Какой же процент игроков попадает под это условие?

Я, собственно, не столько хотел бы опровергнуть итог, сколько увидеть достоверный и доказанный результат. Я привык, что математика - это строгая и объективная наука, и мне не нравится, когда к ней примешивают какие-то субъективные выводы.

Ну а если субъективность выводов - это исходное утверждение, и весь тервер тут не для того, чтобы доказать, а для того, чтобы убедить - очень жаль. Личные примеры и разные success story обычно оказываются эффективней.

Рустам Бакиров

Универсального достоверного и

Универсального достоверного и доказанного результата не будет - достаточной статистики, чтобы сделать надёжные оценки вероятности выигрыша каждого раунда нет, ни у кого, кроме собственно визардов. Необходимая статистика начинается от тысячи драфтов (там среднеквадратичное отклонение для оценки хотя бы общего процента выигрыша матча достигает 1%). Подавляющее большинство игроков столько за лимитедный сезон не наигрывают, а между разными сезонами сравнивать тем более некорректно. И ещё труднее набрать статистику для отличий, скажем, между "8-4" и "4-3-2-2".

Далее, средняя стоимость надрафченных карт - тоже не константа, она плавает от выпуска к выпуску и непостоянна в течение лимитедного сезона, да и после него. В целом, по моему опыту, если просто сдавать надрафченное ботам, в большинстве случаев выручки хватает как раз на то, чтобы оплачивать 2 тикета каждый драфт - может оставаться немного сверху, но тут как повезёт с вскрытием мифических карт. Да, 70% - это примерный порог окупаемости по бустерам.

Цель данной статьи - пусть на упрощённой модели, но, на мой взгляд, ухватывающей суть дела, показать, что разница в "трудности" между "8-4" и "4-3-2-2" должна быть достаточна велика, чтобы "4-3-2-2" был бы финансово правильным решением. Многим (и мне в своё время) в "4-3-2-2" психологически комфортнее - потому что расстройства меньше. Выиграл первый раунд - а дальше можно не особо напрягаться. Но этот комфорт на дистанции стоит денег - которые идут напрямую на счёт Визардов. Если человек боится переходить в *8-4", его никакая чужая статистика не убедит - потому что он или вовсе "8-4" не играл, либо попробовал, немедленного результата за один-два-три драфта не получил и вернулся в комфортную "песочницу".

Я не утверждаю, что играть "4-3-2-2" - всегда ошибка. Скажем, если у Вас на руках 4 пака и 4 тика, больше докупать Вы не хотите, то "4-3-2-2" даёт наибольший шанс, что удастся подрафтиться второй раз.

Рустам Бакиров

Ещё один момент по поводу

Ещё один момент по поводу предположения о независимости процента выигрыша для каждого игрока от номера раунда. Понятно ведь, что смещения для всех игроков в одну сторону быть не может. Ведь если, например, КАЖДЫЙ игрок в среднем во втором раунде выигрывает меньше, чем в первом, то налицо противоречие - ведь среднее по всем игрокам должно быть одинаковым - 50% - если кто-то проиграл матч, то оппонент выиграл.